Problema: su lìmite de sa mesa
Una martingala de $10 in una mesa cun lìmite de $500. Cantu a s’ispissu si segat, cantu perdet cando capitat, e artiare su lìmite agiudat?
Ses pèrdidas a sa fila la segant: 1,8% pro tziclu, a curtzu de su 60% de sas sessiones de 100 giros. Sa segadura costat $630. Artiare su lìmite a $5.000 faghet sa segadura prus rara (0,25% pro tziclu) e prus manna ($5.110). Sa pèrdida isetada pro dòllaru puntadu est su 2,70% cun cale si siat lìmite.
Su problema
Unu giogadore puntat $10 a su rujupuntadaRujuPuntada a dinare paris subra de sos 18 nùmeros rujos. In frantzesu: rouge.Leghe totu → e dòpiat a pustis de onni pèrdida, e torrat a cumintzare a pustis de una vìnchida. Su màssimu de sa mesa est $500. (a) Cantas pèrdidas a sa fila segant sa progressioneistrategiaProgressioneCale si siat règula chi cambiat sa posta segundu sos resurtados de in antis. Sas progressiones negativas l’artziant a pustis de sas pèrdidas, sas positivas a pustis de sas vìnchidas.Leghe totu →? (b) Cale est sa probabilidadematemàticaProbabilidadeSa possibilidade de unu resurtadu, dae 0 a 1 o dae 0% a 100%. Unu nùmeru: 1/37 = 2,70%.Leghe totu → pro tziclu? (c) Cantu si perdet a sa segadura? (d) Comente cambiant sas rispostas cun unu lìmite de $5.000? (e) B’at unu lìmite chi faghet su sistema profetosu?
Solutziones (a)–(c)
Postas: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sa posta nùmeru sete diat èssere 640 > 500, duncas ses pèrdidas la segant. (b) p(pèrdida) = 19/37 a su ruju; (19/37)⁶ = 0,0183, a curtzu de s’1,8% pro tziclu. Unu tziclu durat in mèdia a curtzu de duos giros, duncas una sessione de 100 giros tenet prus o mancu 50 tziclos e p(a su mancu una segadura) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, est a nàrrere 63 unidadesdinareUnidadeSa posta de base cun sa cale traballat unu sistema o unu giogadore. Sas progressiones si descrient in unidades gasi chi bàlent in cale si siat mesa.Leghe totu → de base, contra sos $10 chi su tziclu fiat chirchende de vìnchere.
Solutzione (d)
Cun $5.000: sunt permìtidas postas fintzas a 2.560; sa posta nùmeru deghe, 5.120, est refudada. Noe pèrdidas la segant: (19/37)⁹ ≈ 0,25% pro tziclu, a curtzu de s’11% de sas sessiones de 100 giros. Pèrdida a sa segadura: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Su giogadore s’est comporadu una catàstrofe prus rara a su prètziu de una prus manna. In medas sessiones su costu isetadu de sas segaduras est p × pèrdida ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 pro tziclu cun su lìmite de $500 e 0,0025 × 5.110 = $12,8 cun $5.000; sos duos valores sunt a curtzu ma non sunt uguales, e cadaunu est sa pèrdida isetadamatemàticaPèrdida isetadaSu valore isetadu bortas su totale puntadu; sa mèdia de su chi si perdet in una sessione o in unu perìodu.Leghe totu → de su tziclu prus sos $10 chi balàngiant sos tziclos chi vinchent.
Solutzione (e)
Nono. Pèrdida isetada pro tziclu = (posta totale isetada in su tziclu) / 37, cun cale si siat lìmite, ca onni puntada perdet −1/37 de issa matessi. Su lìmite decidit isceti comente sa pèrdida si distribuit intre medas vìnchidas minores e pagas pèrdidas mannas. Sena lìmite e cun unu bankrolldinareBankrollSu totale de su dinare postu a parte pro giogare. Sa gestione de su bankroll est decìdere cantu nde arriscare pro onni puntada e pro onni sessione.Leghe totu → infinidu sa progressione diat “funtzionare”, in su sensu chi non si diat segare mai, e diat puntare fintzas una suma sena lìmites cun una pèrdida isetada de su 2,70% de cussa suma sena lìmites. No est su lìmite de sa mesamesaLìmite de sa mesaSa puntada mìnima e màssima permìtida. Est su màssimu chi firmat sas progressiones chi dòpiant.Leghe totu → chi impedit a sa martingalaistrategiaMartingalaProgressione chi dòpiat sa puntada a pustis de onni pèrdida. Bide sa setzione Istrategia pro su chi faghet e su chi non faghet.Leghe totu → de funtzionare. Est s’aritmètica.
Duas mesas reales
S’esempru de Thorp est una mesa de $1 cun unu màssimu de $1.000, inue unu giogadore isperat de vìnchere $30 pro sa chena unu dòllaru a sa borta. Sas postas 1, 2, 4 … 512 permitent deghe puntadas, duncas deghe pèrdidas a sa fila segant sa progressione: una borta subra 785 tziclos in una roda europea (una subra 613 in un’americana), cun unu costu de $1.023. Sos trinta tziclos andant totus bene su 96,2% de sas bortas. In su 3,8% chi abarrat si perdent a curtzu de $1.000, e su resurtadu mèdiu de sa sera est −$9,17, est a nàrrere esatamente 1/37 de sos $339 chi sos trinta tziclos puntant in mèdia. Una mesa de $5 cun unu màssimu de $2.000 no est diferente: sas postas fintzas a $1.280 permitent noe puntadas, e sa segadura benit una borta subra 403 tziclos in una roda europea (una subra 323 in un’americana) e costat $2.555.
Unu giogadore ricu
Dae a sa progressione unu bankroll fungudu imbetzes de unu lìmite bassu: 1.000 unidades, una base de un’unidade e 1.000 giros a su ruju, torrende a cumintzare dae un’unidade onni borta chi su dòpiu chi benit est prus mannu de su chi abarrat. Amus simuladu unu milione de seras gai. In una roda europea su 52% acabat in ativu, su 21% perdet totu e su resurtadu mèdiu est −124 unidades. Fintzas in unu giogu sena zerurodaZeruSa casella birde ùnica chi peruna puntada a dinare paris, a dozina o a colunna cobèrrit; sa fonte de su vantàgiu de su bancu. Naradu puru zeru singulu, 0.Leghe totu →, inue onni puntada est giusta, isceti su 60% a curtzu diat acabare in ativu. Sa sera tìpica est una vìnchida minore; sa mèdia la pagant sas seras chi acabant a zeru.
Sa letzione
Sos casinòs ponent sos lìmites pro contènnere sa variàntziamatemàticaVariàntziaUna mesura de cantu sos resurtados s’ispartzinant a fùrriu de su valore isetadu. Arta pro su plenu, bassa pro sas puntadas a dinare paris.Leghe totu → issoro, non pro vìnchere sos sistemas. Vìnchere sa martingala est un’efetu collaterale chi retzint cun piaghere, e s’aritmètica la diat vìnchere in onni casu. Unu giogadore chi pensat chi su problema siat su lìmite at agatadu s’istrampu e l’at pigadu pro sa pendente.
Fòrmula
Preguntas
Ti permitet de sobrevìvere fintzas a unu lìmite prus artu, inue sa segadura est prus rara e prus manna. Sa pèrdida isetada pro dòllaru non cambiat.
Postas 10, 30, 70, 150, 310: a su lìmite de $500 si lompet a pustis de chimbe pèrdidas, e sa segadura costat $570. Su matessi 2,70%.
Pro chi unu giogadore ebbia non potzat puntare prus de su chi sa riserva de su casinò podet pagare sena dificultade. Gestione de sa variàntzia.
Giogare cun sa matemàtica
Prova in antis a sa sola. Onni solutzione est cuada; aberila cando ses prontu.
Una martingalaistrategiaMartingalaProgressione chi dòpiat sa puntada a pustis de onni pèrdida. Bide sa setzione Istrategia pro su chi faghet e su chi non faghet.Leghe totu → cumintzat a $100 a su rujupuntadaRujuPuntada a dinare paris subra de sos 18 nùmeros rujos. In frantzesu: rouge.Leghe totu → e si permitit a su prus n puntadas pro tziclu: a pustis de n pèrdidas a sa fila s’arrendet e cumintzat dae nou. Iscrie su resurtadu mèdiu de unu tziclu comente fòrmula in n, e calculalu pro 5, 6 e 7 puntadas in una roda europea.
Mustra sa solutzione
Risposta Sa mèdia est 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pro 5 puntadas, −$17,35 pro 6 e −$20,52 pro 7. Permìtere prus puntadas faghet su tziclu mèdiu peus, non mègius.
Unu tziclu vinchet $100 francu chi totu sas n puntadas perdant, cosa chi capitat cun probabilidade qⁿ, in ue q = 19/37. Cando perdent totus, sas postas 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sumant 100 × (2ⁿ − 1). Duncas sa mèdia est 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Inoghe 2q = 38/37, unu pagu prus de 1, duncas (2q)ⁿ creschet cun n e sa mèdia calat: n = 5 dat 1,1426 e −$14,26; n = 6 dat 1,1735 e −$17,35; n = 7 dat 1,2052 e −$20,52. Un’iscala prus longa perdet prus pagu a s’ispissu, in su 3,6%, 1,8% e 0,9% de sos tziclos, ma onni pèrdida est mannu su dòpiu, e prus dinare passat subra de sa mesa onni tziclu, a su 2,70% de onni puntada.
In una roda americana 2q = 40/38 e sas tzifras sunt −$29,24, −$36,04 e −$43,20 (Taylor, 2021). In unu giogu sena zerurodaZeruSa casella birde ùnica chi peruna puntada a dinare paris, a dozina o a colunna cobèrrit; sa fonte de su vantàgiu de su bancu. Naradu puru zeru singulu, 0.Leghe totu → 2q = 1, e onni tziclu dat in mèdia zeru esatu, cale si siat sa longària de s’iscala.
Sa “martingala manna” dòpiat sa posta a pustis de una pèrdida e bi aunghet un’unidadedinareUnidadeSa posta de base cun sa cale traballat unu sistema o unu giogadore. Sas progressiones si descrient in unidades gasi chi bàlent in cale si siat mesa.Leghe totu →, duncas sas postas sunt 1, 3, 7, 15, 31 … Cantu ses in ativu cando sa prima vìnchida arribat a sa 1ª, 2ª, 3ª o k-èsima puntada? Cun un’unidade de $10 e una màssima de $500, cantu a s’ispissu unu tziclu si segat, e cantu costat unu tziclu in mèdia?
Mustra sa solutzione
Risposta Una vìnchida a sa k-èsima puntada ti lassat in ativu de k unidades: +1, +2, +3 e gasi in antis. A $10 e $500 su tziclu si segat a pustis de chimbe pèrdidas, su 3,57% de sos tziclos, pro −$570. In mèdia unu tziclu perdet $2,32 subra $85,73 puntados: su 2,70%.
Sa k-èsima posta est 2ᵏ − 1 unidades: 1, 3, 7, 15, 31. Sas primas k − 1 postas sumant 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Una vìnchida a sa k-èsima puntada pagat 2ᵏ − 1, duncas su tziclu acabat (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unidades in ativu: un’unidade in prus pro onni pèrdida in antis de sa vìnchida.
A $10 s’unidade sas postas sunt $10, $30, $70, $150 e $310; sa chi benit, $630, passat sa màssima de $500. Chimbe pèrdidas a sa fila, (19/37)⁵ = 3,57%, costant 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Mèdia: sas vìnchidas giughent $10 × k cun probabilidade (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 pro k = 1 a 5, e sa segada si pigat $570 cun probabilidade 3,57%; totu paris −$2,32. Su dinare puntadu est in mèdia $85,73 a tziclu, e 2,32/85,73 = 2,70%. Sa martingala normale a sa matessi mesa si segat a pustis de ses pèrdidas, su 1,83% de sos tziclos, pro −$630, e perdet $1,74 subra $64,20 puntados: torra su 2,70%.
Unu giogadore pianìficat una martingala a su ruju cun una prima puntada de $1 in una mesa cun su lìmite a $1.000, duncas sunt possìbiles deghe puntadas: $1, $2, $4 e gasi in antis finas a $512. Cantu a s’ispissu unu tziclu perdet totu sas deghe, cantu tempus bi cheret in mèdia, e cantu a s’ispissu unu sero de 200 puntadas acabat gasi?
Mustra sa solutzione
Risposta Unu tziclu perdet totu sas deghe a bellu prus o mancu una borta subra 784, e costat $1.023. Sunt a bellu prus o mancu 1.600 puntadas in mèdia, e unu sero de 200 puntadas tocat su muru a bellu prus o mancu s’11% de sas bortas. Unu tziclu perdet galu $0,31 in mèdia subra $11,31 puntados: su 2,70%.
Una puntada a su ruju perdet cun probabilidade 19/37, cun su zeru incluidu. Deghe a sa fila: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, a bellu prus o mancu 1 subra 784. Sas postas 1 + 2 + 4 + … + 512 sumant $1.023.
Unu tziclu durat 2,05 puntadas in mèdia, duncas 784 tziclos durant a bellu prus o mancu 1.600 puntadas. Contende giru pro giru, una serie de deghe pèrdidas essit in calicunu logu in 200 puntadas s’11,3% de sas bortas.
Intre unu disastru e s’àteru su giogadore vinchet $1 a tziclu: a bellu prus o mancu $783 in antis de su malu, a pustis −$1.023, a bellu prus o mancu −$240 in totu su tretu. A tziclu: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Dinare puntadu a tziclu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. E −0,31/11,31 = −2,70%.
Cunfronta una prima puntada de $10 cun unu lìmite de $500, ses puntadas: su muru arribat una borta subra 55 tziclos, e unu sero de 200 puntadas lu tocat s’84% de sas bortas. Unu lìmite prus artu faghet sa ruina prus rara e prus manna, non prus barata.
Unu pagu de ispassiu
Prus rara e prus manna, cun onni lìmite. Su produtu est costante.
Fontes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.