Su critèriu de Kelly e sa roulette
Su critèriu de Kelly narat a chie at unu vantàgiu cantu puntare. Pro sa roulette sa risposta est crara: nudda.
Posta de Kelly = vantàgiu / cuota. Cun unu vantàgiu negativu sa fòrmula torrat una fratzione negativa, chi bolet nàrrere: non puntes. Su critèriu abarrat ùtile pro cumprèndere pro ite sos giogadores chi isfrutaiant un’isbilantzamentu fiant puntende cussas mannàrias, e pro ite totu sos àteros diant dèpere seberare sa posta segundu su bilantzu.
Su critèriu
John Kelly (1956) s’est preguntadu comente unu giogadore cun unu vantàgiu connotu depiat seberare sa mannària de sas puntadas pro fàghere crèschere su prus possìbile, a longu andare, su bankrolldinareBankrollSu totale de su dinare postu a parte pro giogare. Sa gestione de su bankroll est decìdere cantu nde arriscare pro onni puntada e pro onni sessione.Leghe totu →. Sa risposta, pro una puntada chi pagat b a 1 cun probabilidadematemàticaProbabilidadeSa possibilidade de unu resurtadu, dae 0 a 1 o dae 0% a 100%. Unu nùmeru: 1/37 = 2,70%.Leghe totu → de vìnchere p e probabilidade de pèrdere q = 1 − p, est de puntare sa fratzione f* = (bp − q) / b de su bankroll. Un’f* positivu bolet nàrrere puntare cussa fratzione; zeru o negativu bolet nàrrere non puntare. Kelly traballaiat in sos Bell Labs, e s’artìculu suo, “A new interpretation of information rate”, poniat su problema in sa teoria de s’informatzione de Claude Shannon: unu giogadore chi retzit dicas in una lìnia cun burdellu, a cuotas giustas, podet fàghere crèschere su bankroll, a su màssimu, a su ritmu cun su cale sa lìnia trasportat informatzione. In su 1961 Leo Breiman at dimustradu chi sas puntadas de Kelly, a longu andare, acabant in antis de cale si siat istrategia diferente in sa sustàntzia e lompent a unu traguardu fissadu in unu tempus a curtzu de su prus curtzu.
Su critèriu de Kelly in sa roulette
Pro su rujupuntadaRujuPuntada a dinare paris subra de sos 18 nùmeros rujos. In frantzesu: rouge.Leghe totu →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Pro unu plenupuntadaPlenuUnu nùmeru ebbia, pagat 35:1.Leghe totu →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Onni puntada istandard dat una fratzione de Kelly negativa, ca onni puntada at unu vantàgiu negativu, e sa posta chi faghet crèschere de prus est zeru. Puntare a sa Kelly in sa roulette est una manera formale de nàrrere su chi narat sa pàgina de su vantàgiu de su bancu: non b’at peruna mannària chi permitat a una puntada cun valore isetadu negativu de fàghere crèschere unu bankroll.
Inue Kelly s’aplicaiat
Sos giogadores chi isfrutaiant un’isbilantzamentu teniant unu vantàgiu e unu problema de mannària de sas puntadas. Jagger, sos García-Pelayo e sos Eudaemons ant dèpidu totus seberare cantu puntare subra de su vantàgiu medidu, e puntare tropu pagu isperdet su vantàgiu, cando puntare tropu arriscat sa ruina in antis chi su vantàgiu si bidat. Pro una casellaatretzaduraCasellaUnu de sos 37 iscompartimentos numerados de su rotore. Narada puru slot, cup.Leghe totu → chi essit 1 borta subra 30, Kelly narat su 0,57% de su bankroll pro giru in cussu nùmeru: cun $10.000, a curtzu de $57 a giru, pro una crèschida tìpica de a curtzu de su 0,054% a giru, est a nàrrere ×1,7 in 1.000 giros. Su balàngiu mèdiu est su dòpiu, su 0,11% a giru, ma Kelly mirat a su bankroll tìpicu, non a su mèdiu, chi pagas series fortunadas unflant. Mesu Kelly est su sèberu pràticu de sòlitu, ca s’istima de su vantàgiu est intzerta.
Tìpicu e mèdiu
Sa distàntzia intre su bankroll tìpicu e su mèdiu est manna. Pigamus una casella chi essit 1 borta subra 25, unu vantàgiu de su 44%, sa tzifra chi Thorp dat pro su dispositivu suo. Kelly bi puntat s’1,26% de su bankroll. A pustis de 1.000 giros su bankroll tìpicu est crèschidu a curtzu de 11,5 bortas, cando su mèdiu, tiradu in artu dae pagas series fortunadas meda, est crèschidu a curtzu de 249 bortas. Puntare prus de Kelly artiat sa mèdia e abassat su resurtadu tìpicu: a su dòpiu de sa posta de Kelly su bankroll tìpicu isceti si dòpiat, e a duas bortas e mesu sa posta de Kelly minimat, mancari onni puntada tèngiat galu unu vantàgiu de su 44%. Puntare de mancu costat pagu: sa metade de sa posta mantenet a curtzu de tres cuartos de sa crèschida.
Cando su vantàgiu est un’istima
Kelly pressupponet chi su vantàgiu siat connotu. In sa mesa est istimadu, e s’istima de sòlitu est tropu arta. S’esempru de Epstein, costruidu subra de su 44% de Thorp, est unu nùmeru essidu 49 bortas in 1.225 giros de una roda a zerurodaZeruSa casella birde ùnica chi peruna puntada a dinare paris, a dozina o a colunna cobèrrit; sa fonte de su vantàgiu de su bancu. Naradu puru zeru singulu, 0.Leghe totu → dòpiu: 1 borta subra 25, unu vantàgiu de su 44%, una posta de Kelly de s’1,26%. Ma una roda giusta a zeru dòpiu at 38 nùmeros, e su prus frecuente de issos lompet a 49 o prus in 1.225 giros a curtzu de una borta subra noe. Su nùmeru prus frecuente de cale si siat registru est fintzas su chi sa sorte at agiudadu de prus, duncas fintzas una casella isbilantzada de abberu paret in su registru mègius de su chi est: est sa maleditzione de su vintzidore. Si cussa casella in realidade no est isbilantzada, sa posta de Kelly est isceti una puntada chi perdet in mèdia su 5,26%. Sas rispostas de sòlitu sunt puntare una fratzione de Kelly e sighire a contare fintzas a cando su vantàgiu resistit a unu registru nou (bide Comente iscobèrrere s’isbilantzamentu de sa roda de sa roulette).
Persones cun unu vantàgiu
Ischire su vantàgiu no est su matessi chi l’impreare bene. Haghani e Dewey (2016) ant dadu a 61 persones $25 a cadaunu pro puntare pro mes’ora subra de una muneda chi, comente lis aiant naradu, essiat a conca su 60% de sas bortas, cun vìnchidas limitadas a $250 (sos giogadores ischiant de su lìmite isceti cando bi lompiant). Kelly narat de puntare onni borta su 20% de su bankroll a conca, e sos autores istimant chi puntadas fissas de su 10–20% diant èssere lòmpidas a su lìmite a curtzu de su 95% de sas bortas. Bi sunt lòmpidos isceti su 21% de sos giogadores. Su 28% at pèrdidu totu, 18 de sos 61 ant puntadu totu in unu lantzu ebbia, a curtzu de unu tertzu at acabadu suta de sos $25 de incumintzu, e su pagamentudinarePagamentuSu chi torrat una puntada chi vinchet, espressu comente “X a 1” in prus de sa posta chi si torrat.Leghe totu → mèdiu est istadu de $91. Isceti chimbe de sos 61 aiant intesu faeddare de su critèriu de Kelly. Cun unu vantàgiu, sa mannària de sas puntadas decidit si lu mantenes; sena, comente in una roda giusta, peruna mannària agiudat.
Ite impreare imbetzes
Sena unu vantàgiu, sa mannària de sa posta est una chistione de bilantzu, non de crèschida: sa posta est su chi ses dispostu a ispèndere pro giru, calculadu dae su bilantzu pro ora e dae su ritmu de sa mesa (pàgina de sa gestione de su bankroll). Su cuntributu de Kelly pro su giogadore normale est sa craresa de sa risposta sua: zeru. Totu su chi puntas subra de su zeru est su prètziu de su giogu, seberadu dae tue, non otimizadu dae peruna fòrmula.
Una nota subra de su Kelly fratzionale e sa “gestione de su dinare”
Sos sistemas bèndidos comente “Kelly pro sa roulette” chi cussìgiant unu pertzentuale fissu de su bankroll pro puntada sunt puntada fissaistrategiaPuntada fissaPuntare s’importu matessi a onni giru. Su puntu de riferimentu cun su cale si cunfrontat onni progressione.Leghe totu → cun una posta chi minimat. Perdent su 2,70% de su totale puntadudinareTotale puntaduS’importu totale puntadu in una sessione o in unu perìodu, contende sas vìnchidas torradas a puntare. Naradu puru handle, action.Leghe totu → e, ca sa posta minimat cando perdes, faghent sa ruina lenta, non improbàbile. Est una manera arrazonàbile de fàghere durare unu bilantzu; no est Kelly, chi diat nàrrere de ti firmare.
Fòrmula
Preguntas
Isceti cun unu vantàgiu medidu dae una roda isbilantzadalaboratòriuRoda isbilantzadaUna roda chi, pro difetos fìsicos, faghet unas cantas casellas prus probàbiles de 1/37. Est rara, e si podet rilevare isceti cun mìgias de giros registrados.Leghe totu → o dae unu dispositivu de tempus. Non in una roda giusta.
Ca s’istima de su vantàgiu at un’errore, e puntare tropu costat de prus de puntare tropu pagu. Mesu Kelly dat tres cuartos de sa crèschida cun unu cuartu de sa variàntziamatemàticaVariàntziaUna mesura de cantu sos resurtados s’ispartzinant a fùrriu de su valore isetadu. Arta pro su plenu, bassa pro sas puntadas a dinare paris.Leghe totu →.
Nono. Kelly otimizat sa crèschida cando b’at unu vantàgiu. Sa gestione de su bankroll controllat sa gastu cando non b’at.
Giogare cun sa matemàtica
Prova in antis a sa sola. Onni solutzione est cuada; aberila cando ses prontu.
Su dispositivu de previsione de Thorp e Shannon daiat unu vantàgiu de a bellu prus o mancu su 44%. Subra de unu nùmeru isceti previstu, Kelly narat de puntare s’1,26% de su bankrolldinareBankrollSu totale de su dinare postu a parte pro giogare. Sa gestione de su bankroll est decìdere cantu nde arriscare pro onni puntada e pro onni sessione.Leghe totu →. E si su matessi vantàgiu de su 44% esseret in una puntada isparghinada subra chimbe nùmeros bighinos?
Mustra sa solutzione
Risposta Tando Kelly narat su 7,1% de su bankroll, e su bankroll creschet belle ses bortas prus a lestru: a bellu prus o mancu 1,25 milliones de bortas in 1.000 puntadas, contra a unas 11,5 bortas.
Unu plenupuntadaPlenuUnu nùmeru ebbia, pagat 35:1.Leghe totu → cun unu vantàgiu de su 44% vinchet cun probabilidade 0,04, ca 36 × 0,04 = 1,44. Sa posta de Kelly est su vantàgiu partzidu pro sa cuota: 0,44/35 = 1,26%. Sa crèschida tìpica pro puntada est 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, duncas 1.000 puntadas multiplicant su bankroll pro a bellu prus o mancu e^2,44 ≈ 11,5.
Isparghinende una posta subra chimbe nùmeros sa puntada vinchet cun probabilidade 0,20 e pagat 36/5 pro 1, est a nàrrere 6,2 a 1: semper unu vantàgiu de su 44%, ca 0,2 × 7,2 = 1,44. Sa posta de Kelly diventat 0,44/6,2 = 7,10%, e sa crèschida pro puntada 0,01404, a bellu prus o mancu 5,75 bortas de prus. In 1.000 puntadas est e^14,04, a bellu prus o mancu 1,25 milliones.
Su vantàgiu est su matessi; sas oscillatziones sunt prus minores. Una puntada chi vinchet una borta subra chimbe podet giùghere una parte prus manna de su bankroll sena arriscare sa ruina, e sa crèschida de Kelly premiat custu. Thorp (1984) impreat s’esempru pro mustrare pro ite sos giogadores de previsione puntant a setoresrodaSetoreUn’arcu de casellas sighidas in sa roda, a diferèntzia de unu grupu in su tapetu.Leghe totu →. In sa pràtica chimbe bighinospuntadaBighinosUnu nùmeru e sas duas casellas a onni costadu suo in sa roda: chimbe fiches a plenu.Leghe totu → tenent unu vantàgiu unu pagu prus bassu de su nùmeru isceti mègius (bide Giogu de vantàgiu).
Unu giogadore at agatadu duas casellasatretzaduraCasellaUnu de sos 37 iscompartimentos numerados de su rotore. Narada puru slot, cup.Leghe totu → bighinas chi essint onni una 1 borta subra 25 imbetzes de 1 subra 37. Depet puntare su caddupuntadaCadduDuos nùmeros acurtzu, pagat 17:1.Leghe totu → intre issas a 17 a 1, o onni nùmeru a plenu? Cantu narat Kelly, e cantu a lestru creschet su bankroll a cunfrontu cun una casella isceti de custa genia?
Mustra sa solutzione
Risposta Est su matessi: su 2,59% de su bankroll a su caddu, o s’1,29% a onni nùmeru. Su bankroll tìpicu creschet a bellu prus o mancu 155 bortas in 1.000 giros, contra a 11,5 bortas cun una casella.
Su caddu vinchet cun probabilidadematemàticaProbabilidadeSa possibilidade de unu resurtadu, dae 0 a 1 o dae 0% a 100%. Unu nùmeru: 1/37 = 2,70%.Leghe totu → 2/25 = 0,08 e pagat 17 a 1, duncas torrat 18 × 0,08 = 1,44 pro onni unidadedinareUnidadeSa posta de base cun sa cale traballat unu sistema o unu giogadore. Sas progressiones si descrient in unidades gasi chi bàlent in cale si siat mesa.Leghe totu → puntada: unu vantàgiu de su 44%, su matessi de una casella isbilantzada. Sa posta de Kelly est su vantàgiu partzidu pro sa cuota: 0,44/17 = 2,59%.
Duas puntadas a plenu de s’1,29% onni una dant pròpiu sos matessi resurtados. Cando essit unu de sos duos nùmeros, una fichedinareFicheUnu dischiteddu chi rapresentat un’importu fissu, postu subra de su tapetu pro fàghere una puntada. Narada puru check.Leghe totu → vinchet 35 a 1 e s’àtera est pèrdida, unu netu de 34 × 1,29% = 44% de su bankroll, comente pagat su caddu; cando non nde essit perunu, sunt pèrdidas totu e duas.
Sa crèschida pro giru est 0,00505, contra a 0,00244 pro una casella, duncas in 1.000 giros su bankroll tìpicu creschet e^5,046 ≈ 155 bortas imbetzes de e^2,44 ≈ 11,5 bortas. Duos nùmeros bonos valent meda de prus de su dòpiu de unu, e pro custu sos giogadores de s’isbilantzamentu puntant a grupos de nùmeros. Thorp (1984) faghet su matessi cunfrontu.
Unu pagu de ispassiu
Sa posta chi faghet crèschere de prus in sa roulette est unu nùmeru chi totus connoschent giai.
Fontes
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”